דטרמיננט דטרמיננט הוא צורת הסידור של איברים (מספרים או ביטויים אלגבריים) בצורת טבלה ריבועית המבטא מספר או ביטוי סופי שונה.לצורת הרישום זה יש ערך או ביטוי סופי הנקרא ערכו של דטרמיננט. דטרמיננט הוא רב- אבר הנוצר מטבלה ריבועית של אלמנטים מסויימים לפי כללים מסויימים. דטרמיננט הפשוט ביותר מורכב מ- רכיביים או אלמנטים הרשומים או מסודרים ב- שורות ו עמודות וצורתו הכללית היא :, כאשר ו- הם מספרים או פונקציות. ערכו: דטרמיננט במבנה הנתון מוגדר כדטרמיננט מסדר. דטרמיננט מסדר שלישי בנוי בצורת טבלה ריבועית מ- איברים המסודרים ב- שורות ו- עמודות. בצורתו הכללית דטרמיננט מסדר n מורכב מ- n אלמנטים נרשם בצורה הבא: L n L n L L L L n n L nn ליד כל מקדם נמצאות שתי ספרות הנקראות " אינדקסים ". הספרה הראשונה שבצד שמאל, מסמנת את השורה במבנה של דטרמיננט, הספרה שניה - את העמודה האנכית, שבהצטלבותם נמצא, כש- i מראה את השורה ו- j את העמודה המקדם הזה. יסומן המקדם בצורה כללית האנכית. - מסמן, שרכיב נמצא בשורה שניה ועמודה שלישית. לדוגמה : אחת משיטות חישוב דטרמיננטים מסדר גבוהה היא בעזרת מינורים. מוגדר בתור הדטרמיננט בסדר נמוך ב-,המתקבלת מדטרמיננט של האיבר המינור ה- המקורי ע"י השמטת השורה ה- i והעמודה ה-. j. המינור מסומן ע"י לדוגמא: עבור הדטרמיננט הנתון: או (). A מוגדר מינור של אותו איבר עם תוספת סימן () C של האיבר בתור המשלים אלגברי ה- בוחרים סימן על פי הזוגיות של סכום מספר השורה ומספר העמודה של האיבר. אם הסכום הוא זוגי, מוסיפים (), ואם הוא אי- זוגי מוסיפים (). i j ( ) C ( ) C ( ) A לדוגמא:
חישוב ערכו של דטרמיננט det( A) A. ערכו של דטרמיננט מסדר שני הוא: () (), בטבלה מרובעת זו, אפשר להעביר שני אלכסונים. אחד מהם, הנקרא "הראשי ", עובר דרך והאלכסון השני, הנקרא "משנה " או "אלכסון עזר " מצטלב עם האלכסון הראשי. ערכה של הדטרמיננטה הוא סכום המכפלות, כאשר המכפלה של האברים הנמצאים על האלכסון הראשי חיובית ומכפלת האברים הנמצאים על האלכסון המשנה שלילית. זהו עקרון המכפלות לפי האלכסונים.אפשר להרחיבו גם לגבי דטרמיננט מסדר שלישי. במקרה זה נקבל מכפלות חיוביות ו- מכפלות שליליות. המכפלות החיוביות מתקבלות על פי האלכסון הראשי והאלכסונים השכנים המקבילים. המכפלות השליליות מתקבלות על פי האלכסון עזר והאלכסונים מקביליים לו. כדי להקל על תהליך זהוי המכפלות, מעתיקים בצד הדטרמיננט את שתי העמודות הראשונות, כמתואר בציור. אולם, העקרון זה אי- אפשר להרחיב לגבי דטרמיננט מסדר וגבוה יותר.. פירוק דטרמיננט למינורים או שיטת המשלימים האלגבריים. שיטת המינורים נכונה לכל סדר של דטרמיננט ומקטינה את מספר פעולות בחישוב הערך של ההדטרמיננט. העקרון השיטה: ניתן לפתח את הדטרמיננטה לפי כל אחת מהשורות ) i) או עמודות (j ( באופן הבא: det A ( ) i i i ( ) det A C i i i i i C i i N ( ) L C i n j n j ( ) במילים פשוטות: אנו מחברים ומחסרים לסירוגין, עבור כל איבר בשורה או עמודה שבחרנו, את המכפלה שלו בערך משלים האלגברי של האיבר. את ערך הדטרמיננט הזו ) משלים האלגברי ( אנו כבר יודעים לחשב.בדוגמה שלפנינו, מפיתוח על פי השורה הראשונה נקבל: ללא שורה ללא שורה ללא שורה ועמודה ועמודה ועמודה i j או פיתוח על פי עמודה שניה:
םיאסדנהל תינוכית -לע הקיטמתמ םיטננימרטד" :אשונה " :ךרעו טקיל השמ ןוסזומ :אמגוד טננימרטד לש וכרע תא בשח : A.א :םינוסכלאה תטישב בושיח ( ) ( ) ( ) ( ).ב :םירונימל קוריפ יפל ( ) םיטננימרטדה תונוכת..םיאתמ רדסב תודומעל תורושה תא םיכפוה םא םא,הנתשמ וניא טננימרטד ךרע A. תורוש יתש לש ןמוקמ תפלחה (תודומע וא) תא אל ךא טננימרטדה ןמיס תא הנשמ טננימרטדב םא :ולדוג A טננימרטדמ הלבקתה זא,תודומע וא תורוש יתש תפלחה ידי לע A : A A ספאל םיווש תחא הדומע וא תחא הרוש לש םירביאה לכ םא..ספאל הווש טננימרטדה זא, ןהיניב תווש ולש תודומע יתש וא טננימרטדה לש תורוש יתש םא..ספאל הווש טננימרטדה זא, A
. ערך הדטרמיננט אינו משתנה, אם מוסיפים לאלמנטים של עמודה ) או שורה ( כלשהי אלמנטים עמודה (או שורה) אחרת מוכפלים במספר כלשהו. מתאימים של משתמשים בפעולה זו,כדי ליצור מכסימום של אפסים בעמודה אושורה, ובדרך זו לפשט את חישוב במידה מקסימלית. ( ) ( ) ( ) ליצירת אפס הראשון במבנה של דטרמיננט הנתון, מכפילים את העמודה השלישית ב- אותה מהעמודה הראשונה ומחסירים. את הגורם המשותף לכל האיברים של שורה או של עמודה כלשהי ניתן לפרק ולהוציאו לפני הדטרמיננט. תרגיל חישוב: חשב את ערכו של דטרמיננט : א. נוסיף לשורה הראשונה את השורה הרביעית: ב. נחסיר את העמודה הראשונה מהעמודה הרביעית: ג. נכפיל איברי העמודה השלישית ב- ונחסיר מהעמודה הרביעית: ד. נפרק את הדטרמיננט לפי העמודה הרביעית:
( ) ( ) דטרמיננט ופתרון מערכות משוואות לינאריות נמצא את הפתרון הכללי של מערכת לינארית בת שתי משוואות בשני נעלמים (בהנחה שקיים). נכפיל תחילה כל אחת מהמשוואות במקדם של הנעלם השני במשוואה האחרת: / / נחסיר את המשוואות : ( ) ומקבלים: ומשיקולי סימטריה (החלפת כל אינדקס ב-, ולהיפך): נשים לב לעובדה, שלשני הנעלמים מכנה משוטף. והוא דטרמיננט מטריצת מקדמי הנעלמים. X עבור מונה של X : ב- באופן דומה, נקבל עבור המונה
נשים לב לעובדה, שדטרמיננט אפשר לקבל מהדטרמיננטה של המכנה, אם במקום עמודה, נשים את העמודת המקדמים (האיברים) החופשיים שבאגף הימיני הראשונה של המקדמים שליד של מערכת המשוואות. X מקבלים מהדטרמיננטה של המכנה, ע"י החלפת עמודה השניה בצורה דומה, הדטרמיננטה בעמודת המקדמים (האיברים) החופשיים של מערכת המשוואות. של המקדמים שליד צורת הפתרון בעזרת הדטרמיננטות או שיטת :Crmer X X X דוגמא: y y נתונה מערכת המשוואות: דטרמיננטה הראשית : ( ) ( ) X Y X ( ) ( ) y X X Y דטרמיננטת עזר דטרמיננטת עזר והערכים של הנעלמים: